3.1 Lógica proposicional
La lógica proposicional es
la parte de la lógica que estudia la formación de proposiciones complejas a
partir de proposiciones simples, y la inferencia de proposiciones a partir de
proposiciones, pero sin tener en cuenta la estructura interna de las
proposiciones más simples. Una lógica proposicional es un sistema formal cuyos
elementos más simples representan proposiciones, y cuyas constantes lógicas,
llamadas conectivas, representan operaciones sobre proposiciones, capaces de
formar otras proposiciones de mayor complejidad.
Conectivas lógicas
A continuación hay una tabla que despliega todas las conectivas lógicas que ocupan a la lógica proposicional, incluyendo ejemplos de su uso en el lenguaje natural y los símbolos que se utilizan para representarlas. Conectiva Expresión en el lenguaje natural Ejemplo Símbolo en este artículo Símbolos alternativos Negación no No está lloviendo.
Conjunción y Está lloviendo y está nublado.
Disyunción o Está lloviendo o está soleado.
Condicional material si... entonces Si está soleado, entonces es de día.
Bicondicional si y sólo si Está nublado si y sólo si hay nubes visibles.
Negación conjunta ni... ni Ni está soleado ni está nublado.
Disyunción excluyente o bien... o bien O bien está soleado, o bien está nublado.
la lógica proposicional, las conectivas lógicas son tratados como funciones de verdad. Es decir, como funciones que toman conjuntos de valores de verdad y devuelven valores de verdad. Por ejemplo, la conectiva lógica no es una función que si toma el valor de verdad V, devuelve F, y si toma el valor de verdad F, devuelve V. Por lo tanto, si se aplica la función no a una letra que represente una proposición falsa, el resultado será algo verdadero. Si es falso que «está lloviendo», entonces será verdadero que «no está lloviendo». El significado de las conectivas lógicas no es nada más que su comportamiento como funciones de verdad. Cada conectiva lógica se distingue de las otras por los valores de verdad que devuelve frente a las distintas combinaciones de valores de verdad que puede recibir. Esto quiere decir que el significado de cada conectiva lógica puede ilustrarse mediante una tabla que despliegue los valores de verdad que la función devuelve frente a todas las combinaciones posibles de valores de verdad que puede recibir.
Conectivas lógicas
A continuación hay una tabla que despliega todas las conectivas lógicas que ocupan a la lógica proposicional, incluyendo ejemplos de su uso en el lenguaje natural y los símbolos que se utilizan para representarlas. Conectiva Expresión en el lenguaje natural Ejemplo Símbolo en este artículo Símbolos alternativos Negación no No está lloviendo.
Conjunción y Está lloviendo y está nublado.
Disyunción o Está lloviendo o está soleado.
Condicional material si... entonces Si está soleado, entonces es de día.
Bicondicional si y sólo si Está nublado si y sólo si hay nubes visibles.
Negación conjunta ni... ni Ni está soleado ni está nublado.
Disyunción excluyente o bien... o bien O bien está soleado, o bien está nublado.
la lógica proposicional, las conectivas lógicas son tratados como funciones de verdad. Es decir, como funciones que toman conjuntos de valores de verdad y devuelven valores de verdad. Por ejemplo, la conectiva lógica no es una función que si toma el valor de verdad V, devuelve F, y si toma el valor de verdad F, devuelve V. Por lo tanto, si se aplica la función no a una letra que represente una proposición falsa, el resultado será algo verdadero. Si es falso que «está lloviendo», entonces será verdadero que «no está lloviendo». El significado de las conectivas lógicas no es nada más que su comportamiento como funciones de verdad. Cada conectiva lógica se distingue de las otras por los valores de verdad que devuelve frente a las distintas combinaciones de valores de verdad que puede recibir. Esto quiere decir que el significado de cada conectiva lógica puede ilustrarse mediante una tabla que despliegue los valores de verdad que la función devuelve frente a todas las combinaciones posibles de valores de verdad que puede recibir.
Límites de la lógica proposicional
La maquinaria de la lógica proposicional permite formalizar y teorizar sobre la validez de una gran cantidad de argumentos. Sin embargo, también existen argumentos que son intuitivamente válidos, pero cuya validez no puede ser probada por la lógica proposicional. Por ejemplo, considérese el siguiente argumento: Todos los hombres son mortales.
Sócrates es un hombre.
Por lo tanto, Sócrates es mortal.
Como este argumento no contiene ninguna de las conectivas «no», «y», «o», etc., según la lógica proposicional, su formalización será la siguiente:
p
q
Por lo tanto, r
Pero esta es una forma de argumento inválida, y eso contradice nuestra intuición de que el argumento es válido. Para teorizar sobre la validez de este tipo de argumentos, se necesita investigar la estructura interna de las variables proposicionales. De esto se ocupa la lógica de primer orden. Otros sistemas formales permiten teorizar sobre otros tipos de argumentos. Por ejemplo la lógica de segundo orden, la lógica modal y la lógica temporal.
3.1.1 Concepto de proporción
La proporción muéstralos tamaños relativos de dos o más valores. Las proporciones pueden mostrarse de diferentes maneras. Usando el “:” para separar los valores, o como un solo numero dividiendo un valor para el total. La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles.
Es uno de los escasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto se debe a que es en buena medida intuitiva y de uso muy común. La proporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar las relaciones entre las magnitudes. Una proporción está formada por los números a, b, c y d, si la razón entre a y b es la misma que entre c y d. Una proporción está formada por dos razones iguales: a: b = c: d. Dónde a, b, c y d son distintos de cero y se lee a esa b como c es a d. Se da cuando una razón se iguala a otra, se dice que existe proporcionalidad. Es decir, para tener una relación proporcional, necesitamos tener dos razones que sean equivalentes. Existen dos tipos de proporcionalidad: directa e inversa. Ambas sirven para resolver problemas donde se conoce una razón y un dato de la segunda. Proporcionalidad directa Si en una razón al aumentar una cantidad, la otra también aumenta, se dice que la proporcionalidad es directa.
3.1.2.-Proposiciones compuestas
(Disyncion,Conjuncion,Negacion,Condicional,Bicondicional)
DISYUNCIÓN
La
disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente
los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad
verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son,
y falso cuando ambas son falsas. p v q (se lee: ” p o q”) EJEMPLOS: p = ” El
numero 2 es par” q = ” la suma de 2 + 2 es 4? entonces… pvq: “El numero 2 es
par o la suma de 2 + 2 es 4? p = ” La raíz cuadrada del 4 es 2” q = ” El numero
3 es par? entonces… pvq: “La raíz cuadrada del 4 es 2 o el numero 3 es par”
CONJUNCIÓN
La
conjunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente
los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad
verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro
caso. Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas. p ^ q (se lee: ” p y
q”) EJEMPLOS: p = ” El numero 4 es par” q = ”Siempre el residuo de los números
pares es 2? entonces… p^q: “El numero 4 es par y Siempre el residuo de los números
pares es 2? p = ” El numero mas grande es el 34” q = ”El triangulo tiene 3
lados? entonces… p^q: “El numero mas grande es el 34 y El triangulo tiene 3
lados” NEGACIÓN
La
negación es un operador que se ejecuta. sobre un único valor de verdad, devolviendo
el valor contradictorio de la proposición considerada. EJEMPLOS p: ”4 + 4 es
igual a 9? -p: “4 + 4 no es igual a 9? p: ”El 4 es un numero par” -p: “El 4 no
es un numero par” CONDICIONAL
El condicional material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, yverdadero en cualquier otro caso. La condicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; si p entonces q, se representa por p ? q Tabla de Verdad Condicional EJEMPLOS p: ”llueve” q: “hay nubes” p?q: “si llueve entonces hay nubes” p: ”Hoy es miércoles” q: “Mañana será jueves” p?q: “Si Hoy es miércoles entonces Mañana será jueves” BICONDICIONAL
El
bicondicional o doble implicación es un operador que funciona sobre dos valores
de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo
el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor
de verdad, y falso cuando sus valores de verdad difieren. Tabla de Verdad
Bicondicional EJEMPLOS p: ”10 es un número impar” q: “6 es un número primo”
p?q: “10 es un número impar si y solo si 6 es un número primo” p: ”3 + 2 = 7?
q: “4 + 4 = 8? p?q: “3 + 2 = 7 si y solo si 4 + 4 = 8?
3.1.3Tablas de verdad
La tabla de verdad es un
instrumento utilizado para la simplificación de circuitos digitales a través de
su ecuación booleana. Las tablas de verdad pueden tener muchas columnas, pero
todas las tablas funcionan de igual forma. Las tablas nos manifiestan los
posibles valores de verdad de cualquier proposición molecular, así como el
análisis de la misma en función de las proposiciones que la integran,
encontrándonos con los siguientes casos: Verdad Indeterminada o
Contingencia
Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que puede ser verdadera o falsa, según los valores de las proposiciones que la integran. Sea el caso: Su tabla de verdad se construye de la siguiente manera: Ocho filas que responden a los casos posibles que pueden darse según el valor V o F de cada una de las proposiciones A, B, C. (Columnas 1, 2, 3) Una columna en la que se establecen los valores de aplicando la definición del disyuntor a los valores de B y de C en cada una de las filas.(Columnas 2,3 ? 4) Una columna en la que se establecen los valores resultantes de aplicar la definición de la conjunción entre los valores de A (columna 1) y valores de la columna , (columna 4) que representarán los valores de la proposición completa , cuyo valor de verdad es V o Fsegún la fila de los valores de A, B, y C que consideremos. (Columnas 1,4 ? 5) Donde podemos comprobar cuándo y por qué la proposición es V y cuándo es F.
Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que puede ser verdadera o falsa, según los valores de las proposiciones que la integran. Sea el caso: Su tabla de verdad se construye de la siguiente manera: Ocho filas que responden a los casos posibles que pueden darse según el valor V o F de cada una de las proposiciones A, B, C. (Columnas 1, 2, 3) Una columna en la que se establecen los valores de aplicando la definición del disyuntor a los valores de B y de C en cada una de las filas.(Columnas 2,3 ? 4) Una columna en la que se establecen los valores resultantes de aplicar la definición de la conjunción entre los valores de A (columna 1) y valores de la columna , (columna 4) que representarán los valores de la proposición completa , cuyo valor de verdad es V o Fsegún la fila de los valores de A, B, y C que consideremos. (Columnas 1,4 ? 5) Donde podemos comprobar cuándo y por qué la proposición es V y cuándo es F.
3.1.4 TAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIÓN
Y CONTINGENCIA
Con cinco conectivas lógicas básicas se construyen
proposiciones compuestas que pueden ser tautologías, contradicciones o
contingencias.
v
Si la tabla de verdad de la proposición es
siempre verdadera, independientemente de la verdad o falsedad de las
proposiciones simples, entonces la expresión es tautológica.
v
Si la tabla de verdad es siempre falsa, será una
contradicción.
v
Si es verdadera y falsa, la proposición es una
contingencia.
TAUTOLOGIA
Las tautologías
son identidades lógicas que siempre serán verdaderas, no son solo un útil
objeto en la lógica son usadas primordialmente para pruebas sentenciales,
desempeñan un papel fundamental en los procesos de la deducción dentro de esta
lógica.
Ejemplo: La expresión ‘(p ^ q) → (p v r)’ es una tautología:
CONTRADICCIÓN
Si una proposición compuesta es falsa para todas
las asignaciones entonces es una contradicción. Son formulas sentencialmente
contra-validas o de tercer grado.
Ejemplo: P ∧ ¬P (se
lee: P y no P). Su tabla de verdad es la siguiente:
CONTINGENCIA
Se utilizan para hacer circuitos de control y
automatismo, surgen cuando en dos proposiciones, su equivalencia es verdadera y
falsa a la vez.
Ejemplo: A ^ (BVC)
3.1.5 EQUIVLENCIAS LOGICAS
Dos fórmulas lógicas son equivalentes si tienen los
mismos valores de verdad para todos los posibles valores de verdad de sus
componentes atómicos.
Diremos que dos proposiciones P y Q son lógicamente
equivalentes si es una tautología, es decir, si las tablas de verdad de P y Q
son iguales.
Equivalencia lógica en la ley asociativa de la
conjunción
A modo ilustrativo en virtud de la ley asociativa
de la conjunción, la fórmula p(qr) es lógicamente equivalente a (pq)r.
Para ello no hay más que hacer la tabla de verdad
de cada una de esas expresiones y comprobar si, en efecto, todas sus
interpretaciones son iguales para la conectiva dominante.
Equivalencia lógica en la ley
asociativa de la disyunción
La fórmula p(qr) es equivalente a (pq)r.
Si dos fórmulas lógicas son equivalentes entonces
la fórmula que se obtiene al operarlas con la bicondicional es una tautología.
EJEMPLO:
Te proponemos que rellenes la siguiente tabla con
“V” y “F” donde proceda para comprobar que, en virtud de la ley asociativa de
la disyunción, la fórmula p(qr) es equivalente a (pq)r.
(p → ¬q) ∨ (¬p ∨ r) ¬p ∨ ¬q ∨ r
p
|
q
|
r
|
¬q
|
¬p
|
p → ¬q
|
¬p ∨
r
|
(p → ¬q) ∨
(¬p ∨
r)
|
¬ p ∨
¬q
|
¬p ∨
¬q ∨
r
|
V
|
V
|
V
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F
|
F
|
F
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V
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V
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F
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V
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V
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F
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V
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V
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V
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V
|
V
|
V
|
V
|
3.1.6 REGLAS DE INFERENCIA
Regla de inferencia es un esquema para
construir inferencias válidas. Estos esquemas establecen relaciones
sintácticas entre un conjunto de fórmulas llamados premisas y
una aserción llamada conclusión.
Las
reglas también se aplican a la lógica informal y a las discusiones, pero la
formulación es mucho más difícil y polémica
Reglas de
Inferencia Deductiva
MPP Modus ponendo ponens
A → B
A
– – – – -
B
A → B
A
– – – – -
B
MTTModus tollendo tollens
A → B
¬B
– – – – -
¬A
A → B
¬B
– – – – -
¬A
SD Silogismo Disyuntivo
A ∨ B
¬A
– – – – -
¬B
A ∨ B
¬A
– – – – -
¬B
SH Silogismo hipotético
A → B
B → C
– – – – -
A → C
A → B
B → C
– – – – -
A → C
LS Ley de simplificación
A ∧ B
– – – – -
A
A ∧ B
– – – – -
A
LA Ley de adición
A
– – – – -
A ∨ B
A
– – – – -
A ∨ B
CONTRA POSITIVA
A → B
– – – – -
¬B → ¬A
– – – – -
¬B → ¬A
3.1.7 ARGUMENTOS VALIDOS Y NO
VALIDOS
Un argumento es correcto del punto de vista lógico,
si siempre que las premisas son verdaderas su conclusión lo es por razones
formales. O, dicho de otro modo, si es imposible por razones formales que las
premisas sean verdaderas y la conclusión sea falsa. En este caso se dice que la
conclusión es consecuencia lógica de las premisas o que las premisas implican
la conclusión
Si probamos con todas las alternativas, resulta que
o y no son las únicas expresiones que no pueden intercambiarse por otras.
De esto es evidente que la validez de (1) depende
solo del hecho de que una de las premisas consiste de dos enunciados conectados
por la conjunción o, que la otra premisa es la negación del primer enunciado de
la primera premisa y que la conclusión es el segundo enunciado de la primera
premisa. Y (1) no es el único argumento cuya validez depende de este hecho. Lo
mismo ocurre con el ejemplo (4) y (5), por ejemplo. Decimos que (1), (4) y (5) tienen
una misma forma en común, y es esta forma la que es responsable de su validez.
Esta forma común puede representarse esquemáticamente así:
(6) A o B
No A
B
Estas representaciones esquemáticas de los
argumentos se llaman esquemas argumentales. Las letras A y B representan
enunciados arbitrarios. Al sustituir estas letras por enunciados reales,
obtenemos un argumento real. Cualquier sustitución de este tipo que hagamos en
el esquema (6) resultará en un argumento deductivo, por eso decimos que (6) es un esquema
argumental deductivo o válido.
Argumento: Conjunto de fórmulas para el razonamiento lógico.
Argumento Válido: Un argumento es válido si se cumple:
Argumento Válido: Un argumento es válido si se cumple:
- Un argumento puede ser
válido con premisas y conclusión verdaderas.
- Pero
también puede ser válido con premisas falsas y conclusión verdadera, o
incluso con premisas y conclusión falsas.
¡Lo que NUNCA será es válido con premisas
verdaderas y conclusión falsa!
3.1.8 DEMOSTRACION FORMAL DIRECTA POR CONTRADICCIÓN
Contradicción
Contradicción es aquella proposición que siempre es falsa para todos los valores de verdad, una de las más usadas y más sencilla es p ∧ p’.
Como lo muestra su correspondiente tabla de verdad.
p
|
p’
|
P ^ p’
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
Ejemplo:
Si se tiene p: “El coche es verde”, la proposición p ∧ p’ equivale a decir que:
Si se tiene p: “El coche es verde”, la proposición p ∧ p’ equivale a decir que:
“El coche es verde y el coche no es verde”.
Por lo tanto se está contradiciendo, es decir, es una falacia.
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